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사회과학 다운로드 수학 - 리만 가설에 관하여 보고서

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사회과학 다운로드 수학 - 리만 가설에 관하여

[사회과학]수학 - 리만 가설에 관하여

리만 가설에 관하여

1. 머리말

소수는 수 중에서 가장 기본이 되는 수이다. 소수로써 거의 모든 수를 설명할 수 있기 때문이다. 오래 전부터 위대한 수학자들은 소수의 신비와 분포에 관하여 연구하여 왔다.

1859년에 리만1)은 베를린 학술원의 회원으로 선정되었다. 베를린 학술원의 헌장에 의하면, 새로이 선출된 회원은 반드시 최근의 연구업적을 보고하게 되어 있었다. 그래서 리만은 『주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여 (On the number of primes less than a given magnitude)』의 제목으로 보고서를 학술원에 제출하였다.(참고문헌 [12] 참조) 그는 이 보고서에서 리만 제타함수의 성질들을 열거하고 소위, ??리만 가설 (the Riemann Hypothesis)??을 제시하였다.

이미 이 전에 소수의 분포에 관하여 오일러2), 르장드르3), 가우스4) 등의 위대한 수학자에 의하여 연구되었다. 오일러는 소수의 분포를 연구하기 위하여 아래의 제타함수

(1)

를 공부하였다. 그는

(2)

의 관계식을 보였다. 여기서 는 모든 소수 들의 곱을 나타낸다. 관계식 (2)는 「오일러 곱(Euler product)」이라고 불린다. 이 사실로부터 소수의 개수가 무한임을 알 수 있다. 를 주어진 양의 실수라고 하고

라고 하자. 여기서 는 모든 자연수들의 집합을 나타내고 는 집합 의 개수를 나타낸다. 오일러는

(3)

이라는 것을 가설로 제시하였다. 오일러, 르장드르, 가우스와 같은 위대한 수학자들이 (3)을 증명하려고 시도하였지만 실패하였다. 1854년에 체비쉐프5)는 논문집 『Memoires de l’Academie des Sciences de Saint Petersburg』에서

(4)

의 등식을 증명하였다. (단, 그러나 체비쉐프는 (3)의 극한값이 존재한다는 사실은 증명하지 않았다.

1850년경에 리만은 (1)에서 실수 변수뿐만 아니라 복소수 변수까지 생각하였다. 그는을 만족하는 영역에서는 해석적 함수이고 해석적 접속(analytic continu -ation)을 지님을 증명하였다. 게다가 의 함수방정식을 발견하였다. 끝으로 그는

임을 증명하고

(RH) ??의 다른 영점(zero)은 모두 의 선상에 놓여 있다.??

라는 사실을 주장하였다. 그러나 리만은 이 주장을 증명하지 않았다. 그의 사후에 제타함수 는 「리만 제타함수(the Riemann zeta function)」라고 불렸고 주장 (RH)는 『리만 가설』이라고 불렸다. 그 후 프랑스 수학자 Jacques Hadamard (1865～1963)와 Charles de la Vall?e-Poussin (1866～1962) 등과 같은 유명한 수학자들이 리만 가설을 해결하려고 하였지만 실패하였다. 아직까지도 이 가설은 풀리지 않고 있다. 1941년에 프랑스 수학자 베이유6)는 함수체(function field)인 경우에 (RH)를 증명하였고, 1949년에 유한체(finite field) 상에서 정의되는 대수다양체의 제타함수에 대하여 (RH)와 유사한 소위, 『베이유 가설(Weil conjecture)』을 제시하였다.(참고문헌 [16]과 [17] 참조) 그 후, 1974년에 벨기에 수학자 데리네7)가 매끄러운 사영다양체(nosingular projective variety)인 경우에 베이유 가설이 옳다는 것을 증명하였다.(참고문헌 [1] 참조) 이 업적과 하지 이론의 업적으로 데리네는 1978년에 수학의 노벨상인 필즈상을 수상하였다. 1980년에 일반적인 다양체(complete variety)인 경우에 베이유 가설이 진실이라는 사실을 증명하였다.(참고문헌 [2] 참조)

리만 가설은 정수론 분야에서 중요한 『소수 정리 (the Prime Number Theorem)』와 아주 밀접한 관계가 있다. 가령, 주장 (3)은 이라는 주장과 동치이다.

본인은 이 강연에서 리만 가설의 내용을 쉽게 설명하고 소수 정리와의 연관성에 관하여 가능하면 쉽게 다루려고 한다. 또, 소수에 관한 여러 문제(가령, 골드바하8) 가설, 쌍둥이 소수 짝의 문제, Bertrand9)의 주장)들을 소개하겠다.

2. 리만 제타함수

리만 가설의 내용을 어느 정도 이해하기 위해서는 우선,

(ㄱ) 복소수(complex number)의 개념

(ㄴ) 해석적(解析的; analytic or holomorphic) 함수의 개념

(ㄷ) 유리형(meromorphic) 함수의 개념

(ㄹ) 해석적 접속(analytic continuation)의 개념

등의 기본적인 여러 개념을 알아야 한다.

상기의 개념을 간략하게 설명하겠습니다. 복소수의 개념은 여러분 모두가 잘 알고 있기 때문에 설명은 생략하겠습니다. 복소함수 가 의 근방에서 극한값

을 가질 때 함수 는 에서 해석적이다라고 한다. 영역(a region) 의 모든 점에서 복소 함수 가 해석적일 때 는 상에서 해석적이

다라고 한다. 그리고 해석적 함수이고 의 형태의 함수를 유리형 함수라고 한다. 복소 함수 가 의 근방에서

(단, 임)의 형태일 때 함수는 에서 계의 극점

을 갖는다고 한다. 영역 에서 정의되는 해석적 함수 가 주어져 있다고 하자. 를 포함하는 영역 상에 유리형 함수 가 존재하여 상에서는 일 때 함수 를 의 해석적 접속이라고 한다. 예를 들면, 기하급수로 주어지는 함수

는 중심이 원점인 단위원 내부 에서 정의되는 해석적 함수이다. 그런데 함수 는 상에서 정의되는 해석적 함수이며 상에서는 이다. 그러므로 를 의 해석적 접속이라 말할 수 있다.

도움말 : (1) 자연대수

는 무리수이다.

(2) 가 복소수이고 일 때

와 같이 정의한다. 가령, 이 자연수일 때 이다.

(3) 일 때 무한급수 는 수렴한다. 그리고 무한급수

는 발산한다.

(4) 이라 놓으면 는 domain(open and connected set)이다. 여기서, 는 복소수 전체의 집합을 나타내는 복소수 체이다.

[문서정보]

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파일종류 : HWP 파일

자료제목 : 사회과학 다운로드 수학 - 리만 가설에 관하여

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